প্রমাণঃ 0! = 1 (০ ফ্যাক্টরিয়াল = ১)

আজকে আপনাদের দেখাব কিভাবে 0! = 1 ,
আমরা জানি,

n! = n(n-1)! .................. (১)

সমীকরণ (১) এ n=1 বসিয়ে পাই,
1! = 1(1-1)!

বা, 1! = 1 x 0!

বা, 1 = 1 x 0!

[যেহেতু, 1! = 1]

বা, 0! x 1 = 1
[প্রতিস্থাপন করে]

বা, 0! = 1

[উভয় পক্ষকে 1 দ্বারা ভাগ করে]

অতএব, 0! = 1

[প্রমাণিত]

লগারিদমের ভিত্তি e ধরার কারণ

আশা করি সকলে ভালো আছেন ।

এর আগেও লগ সম্পর্কে পোস্ট করা হয়েছে আজকে এ বিষয়ে আরো একটি পোস্ট ।

আমরা বেশির ভাগ ১০ ভিত্তিক লগারিদমের সাথেই অধিত পরিচিত ।

ভিত্তি হিসাবে ১০ কে আমাদের কাছে স্বাভাবিক মনে হয়, কারণ আমরা ১০ ভিত্তিক গণনায় অভ্যস্ত।

তাই আমরা একটু অবাক হই লগের ভিত্তি হিসেবে e (এটি একটি অমূলদ সংখ্যা যার মান ২.৭১৮২৮১৮২৮৪…...) কে দেখে আর আমাদের মনে প্রশ্ন জাগে এই e আসলো কোথা থেকে আর কেনই বা গণিতবিদদের কাছে এই e কে ১০ এর চেয়েও বেশি ভাল মনে হয় ?

লগারিদম এর লেখচিত্র

যদি আমরা ১০ ভিত্তিক লগ অর্থাৎ y=log_১০ (x) এর লেখ আঁকি এবং অত্যন্ত সতর্কতার সাথে (১,০) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল হিসাব করি তবে আমরা পাই ০.৪৩৪।

ঢাল হল, কোন সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণের tangent যেমন, উৎপন্ন কোণ ৩০ ডিগ্রী হলে ঢাল হবে tan৩০ডিগ্রী বা, ১.৭৩২

২ ভিত্তিক লগের জন্য সেই মান হয় ১.৪৪… এবং ৩ ভিত্তিক লগের জন্য হয় ০.৯১…,

অর্থাৎ, ২ ভিত্তিক লগের জন্য ১ এর চেয়ে বেশি আর ৩ ভিত্তিক লগের জন্য ১ এর চেয়ে কম।

আমরা সবাই গণিতের সৌন্দর্যে মোহিত হই, সরলতায় আগ্রহী হই তাই স্বভাবতই আমাদের মনে প্রশ্ন জাগে, এমন কোন ভিত্তি কি নেই যা ২ ও ৩ এর মধ্যবর্তী এবং যার জন্য সেই মান বরাবর ১ হবে ?

উত্তর হ্যাঁ, আছে।

আর সেই মানই হল e ।

e ভিত্তিক লগ অর্থাৎ, y=log_e (x) এর জন্য (১,০) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল হবে ১।

আর তাই ভিত্তি হিসেবে e ব্যাবহার করলে বিষয়টি অনেক সহজ হয় ।

ক্যালকুলাসের অন্তরীকরণ থেকে আমরা জানি log_e(x) এর অন্তরক সহগ হল ১/x কিন্তু ভিত্তি যদি e না হয়ে অন্য কোন সংখ্যা যেমন a হয় তখন log_a(x) এর অন্তরক সহগ হয় (১/x)log_a(e)

অর্থাৎ,১/x এর সাথে ১ ভিন্ন অন্য একটি সংখ্যা গুণ আকারে চলে আসে ।

যেমন log_২(x) এর অন্তরক সহগ (১.৪৪…)/x । আর তখন ঢাল ১ না হয়ে ১.৪৪ হয়, e ভিত্তিক লগের জন্য যা ১, কারণ কোন নির্দিষ্ট বিন্দুতে অন্তরক সহগের মানই ওই বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল। এ কারনে লগের ভিত্তি হিসেবে e এর ব্যাবহার এতো স্বাভাবিক।

আমরা খুব সহজে e এর মান নিচের ধারা থেকে নির্ণয় করতে পারিঃ-

e = ১ + ১/১! + ১/২! + ১/৩! + ১/৪! + …

যেখানে, ৪! মানে ১.২.৩.৪=২৪

লগ (Log) / লন (ln) কি ?

গণিতের অনেকগুলো অপারেটরের মধ্যে খুবই জনপ্রিয় এবং গুরুত্বপূর্ণ একটি অপারেটর হচ্ছে"লগ(log)"

কিন্তু, লগ দ্বারা আসলে কি বোঝায়? "লগ এর ভিত্তি"বা"লগ এর বেইজ" কথাটির মানে কি? আর, লগ(log) এর সাথে লন(ln)এরই বা কি সম্পর্ক?

লগ কি?

এক কথায় বলতে গেলে,লগ(log) হচ্ছে এমন একটি অপারেটর যার কাজ অনেক বড় বড় সংখ্যাকে ছোট করে দেয়া।আর লগের এই ছোট মান দ্বারা সেই বড় মানটি বের করে ফেলা সম্ভব।

যেমনঃ একটি সংখ্যা ১,০০,০০,০০০ ধরে নেয়া যাক। এখন আমরা ১০ ভিত্তিক একটি লগ নিলাম এবং আমাদের সংখ্যাটিকে সেই ১০ ভিত্তিক লগের ভেতর ফেলে দিলাম।

তাহলে, আমাদের মান আসবে মাত্র ৭! কিভাবে হল?- সেটাই এখন দেখার বিষয়!

লগ(log) বালন(ln) লেখার নিয়ম

প্রথমেই যেটা জানা দরকার তা হল, "লগের ভিত্তি" বা "লগের বেইজ" ছাড়া কিন্তু লগ কখনই কাজ করতে পারে না।

তাই প্রতিটা লগে অবশ্যই এর ভিত্তি বলে দেয়া থাকতে হবে। আর এই ভিত্তি থাকে log এর g অক্ষরের গোঁড়ায়। যা লগের বেইজ লেখার স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম। লগের বেইজ লেখা শেষ। এবার যেই সংখ্যাকে আমরা ছোট করতে চাই, সেই সংখ্যাকে লিখতে হবে "লগের বেইজ" এর ঠিক উপরে।

যেইভাবে আমরা সাধারণত কোন সংখ্যার উপর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" লিখে থাকি সেইভাবে। লন(ln) এর ক্ষেত্রে কোন বেইজ লিখতে হয় না।

কারণ, লন দ্বারা e ভিত্তিক লগকে বোঝায়। তাই, লন(ln) এ শুধুমাত্র input দিতে হয়।

এখানে, আমরা যাকে "input" বলছি, একে গণিতে "argument" বলা হয়। আমরা আমাদের বোঝার সুবিধার জন্যে input বলছি।

'লগের ভিত্তি' বা 'লগের বেইজ' কি?

লগ বুঝতে গেলে সবসময় যেই কথাটি মাথায় রাখা দরকার সেটি হল, লগ সর্বদা "power" বা "to the power" বা "ঘাত" নিয়ে কাজ করে। আর 'লগের ভিত্তি' বা 'লগের বেইজ' মূলত সেই কাজটি পরিচালনা করে থাকে।

কোন লগারিদম বা লগের অংকে input এ একটি সংখ্যা দেয়া হয়। লগের কাজ হল সেই সংখ্যাকে লগের বেইজ এর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে প্রকাশ করা। যা হচ্ছে ঐ লগের ফলাফল। অর্থাৎ, লগের ফলাফল হচ্ছে বেইজ এর "power" বা "to the power" বা "ঘাত"

যেমনঃ প্রথমে আমরা ১,০০,০০,০০০ সংখ্যাটি input হিসেবে ধরে নিয়েছিলাম এবং লগের ভিত্তি বা বেইজ হিসেবে নিয়েছিলাম ১০ কে। যার ফলে এই লগের ফলাফল আসে ৭. এখন একটু লক্ষ্য করা যাক। আমরা যেই সংখ্যা নিয়েছিলাম সেখানে শুন্য ছিল ৭ টি। আবার, লগের ভিত্তি হিসেবে নেয়া ১০ এর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" যদি ৭ হয়, তবে তার মান হয় ১,০০,০০,০০০.

অর্থাৎ, কোন সংখ্যাকে যদি ১০ ভিত্তিক একটি লগের মেশিনের মধ্যে ফেলা হয়, তাহলে সেই লগের মেশিন ঐ সংখ্যাটিকে ১০ এর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হিসেবে তৈরি করবে এবং তা ফলাফল হিসেবে প্রদর্শন করবে।

একইভাবে, ১০ ভিত্তিক লগের মান ২৩ বলতে বোঝায়, ১০ এর "power" বা "to the power" বা "ঘাত" হচ্ছে ২৩. এবং সংখ্যাটি হচ্ছে ১,০০,০০,০০,০০,০০,০০,০০,০০,০০,০০,০০০

এইভাবে কোন বড় সংখ্যাকে লগের মাধ্যমে ছোট করে ফেলা সম্ভব। বাস্তব জীবনে লগের ব্যবহার বাস্তবে আমরা অনেক কাজেই লগ ব্যবহার করে থাকি। যেমনঃ ভূমিকম্প মাপার মেশিনের নাম হচ্ছে "Richter magnitude scale" বা আমরা শুধু "রিক্টার স্কেল" বলে থাকি। এই স্কেল মূলত ১০ ভিত্তির লগ নিয়ে কাজ করে। রিক্টার স্কেল যখন ভূমিকম্পের মাত্রা ৬ দেখায়, তখন এর মান হচ্ছে 10^6. অর্থাৎ, ১,০০,০০০. আবার যখন এই স্কেলে ভূমিকম্পের মাত্রা ৭ দেখায়, তখন এর মান হচ্ছে 10^7. অর্থাৎ, ১,০০,০০০০. দেখা যাচ্ছে, ১০ ভিত্তিক লগের মান ১ বেড়ে গেলে, এর মান আসলে ১ বাড়ে না। এর মান বেড়ে যায় ১০ গুণ! তাই, আমরা যখন শুনি যে, গতবারের তুলনায় এবারের ভূমিকম্পের মাত্রা ১ বেশি, তখন আমরা চমকে যাই এবং একে অনেক গুরুতর মনে করি। এর কারণ হচ্ছে, এই মানটা লগে প্রকাশিত। যার ফলে এর মান ওই লগের বেইজ পরিমাণ গুণ বেড়ে যায়।

লন(ln) কি?

লন(ln) আসলে একটি লগারিদম বা লগ। লগের বেইজ যখন e হয় তখন সেই লগারিদমকেলন(ln) বলে।

একে আলাদা একটি নামে ভূষিত করার কারণ হচ্ছে e. এই e হচ্ছে পাই-এর মতই একটি ধ্রুবক।

e এর মানঃ

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995........

eনিয়ে আরেকদিন বিস্তারিত লিখতে পারি

গণিতের মজা নিন এন্ড্রয়েড ফোনে

Math IQ Challenge প্রবলেম সলভিং করে যারা মজা পান তাদের জন্য একটি দারুন এন্ড্রয়েড এ্যাপ নিয়ে আবারো চলে এলাম আপনাদের সামনে। একেবারে সহজ খেকে মাস্টার লেভেল পর্যন্ত অনেক মজার মজার চ্যালেন্জ রয়েছে আপনার ব্রেনকে ওয়াশ করার জন্য । ছোট এই এ্যাপটি তে ১০ টি লেভেলে সহজ খেকে কঠিন প্রবলেমগুলো সাজানো আছে । ঘন্টার পর ঘন্টা সময় ব্যায় করে যারা প্রবলেম সলভ করে মজা পান তারা এই এ্যাপটি ট্রাই করে দেখতে পারেন, যদিও প্রথম কয়েকটা লেভেলের প্রবলেম গুলো একেবারেই বিগিনার লেভেলের তবুও নতুন করে কিছু প্রবলেম ফেস করে দেখুন । Problem Categories: ----------------------------- Basic Arithmetic Number series, Binary & Hexa-decimal Number system Prime, Palindrome, Lychrel number etc Puzzles Riddles Geometry etc. এ্যাপ / কয়েন একদম ফ্রি এবং অফলাইনেই চালানো যায় । সলভ করা প্রবলেম এর সলুশন অটো আনলক হয়ে যায়, তবে সলভ করা হয়নি এমন প্রবলেম এর সলুশন দেখতে কয়েন এর প্রয়োজন । তিনটি প্রবলেম সলভ বা এ্যাপ শেয়ার করলেই একটি ফ্রি কয়েন । ডাউনলোড করে নিন গনিত আইকিউ চ্যালেন্জ : ডাউনলোড

পীথাগোরাসের সময়ে গণিত

পিথাগোরাসের সময়ে প্রায় প্রতিটি সংখ্যারই আলাদা পরিচয় ছিল।১ ছিল সৃষ্টিকর্তার প্রতীক।২ পুরুষের প্রতীক, ৩ মহিলার প্রতীক।আবার ২+৩=৫ হল বিবাহের প্রতীক।এমনি করে নিত্য ব্যাবহার্য প্রায় প্রতিটি সংখ্যাকে আলাদা ভাবে চিহ্নিত করা হত।এমনকি দুটো তিনটে সংখ্যার মাঝে যোগ বিয়োগ গুণ ভাগ করলে যদি ভগ্নাংশ পাওয়া যেত সেটির জন্য ও কোন নির্দিষ্ট বিষয় বা বস্তু বরাদ্দ হত।বলা বাহুল্য এটা করতে পেরে তারা যারপরনাই সুখী ছিল। তখনো পর্যন্ত গণিতে অমূলদ সংখ্যা ছিলনা।ঠিক ওই সময়ে পিথাগোরাস তার বিখ্যাত থিওরেম থেকে প্রমাণ করে দেখালেন যে একটি সমকোনী ত্রিভূজের ভুমি এবং লম্ব যদি ১ একক হয় তবে অতিভূজ হবে ২ এর বর্গমূল যা একটি অমূলদ সংখ্যা।প্রতীক প্রেমি গণিতবিদ এবং ধর্মযাজকদের মাথায় যেন আকাশ ভেঙ্গে পড়লো।
গণিতের ইতিহাসে এটি ছিল প্রথম অমূলদ সংখ্যা।অমূলদ সংখ্যা হচ্ছে ওই সকল সংখ্যা যে সকল সংখ্যাকে দুটো সংখ্যার ভাগফল রূপে লেখা যায় না।

পারসিন্টেন্স

যে কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলো পরস্পরের সাথে গুণ করে মোট অঙ্কের সংখ্যা 1 এ নামিয়ে আনতে যতগুলো ধাপ অতিক্রম করতে হয় তাকে সেই সংখ্যার পারসিস্টেন্স বলে। যেমন- 10 এর পারসিস্টেন্স হচ্ছে 1। কেননা 1.0=0 এক ধাপে চলে আসা গেছে। 25 এর পারসিস্টেন্স 2,কারণ 2.5=10 এবং1.0=0 এখানে দুই ধাপ লেগেছে। এমনটি ভাবার কারণ নেই যে সংখ্যাটি বড় হলে তার পারসিস্টেন্স বেশি হবে যেমন তিন অঙ্কের 123 সংখ্যাটির পারসিস্টেন্স 1,কেননা 1.2.3=6 মাত্র এক ধাপেই এক অঙ্কে চলে আসা গেছে। মজার ব্যাপার হল 277777788888899সংখ্যাটির পারসিস্টেন্স মাত্র 11 এবং 11 পারসিস্টেন্সের এটা হল ক্ষুদ্রতম সংখ্যা। যেটা বিস্ময়কর সেটা হচ্ছে পারসিস্টেন্স 12 এর একটা সংখ্যা পেতে গেলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি (10)to the power 50 এর থেকেও বড় হতে হবে।

অনেক কিছুই অজানা

পাইয়ের সঠিক মান (3.1415926) মনে রাখতে পিচ্চি গনিতবিদদের একটা সুন্দর লাইন শেখানো হয়। সেটি হল may I have a large container of coffee?" মিলিয়ে নিতে পারেন। সংখ্যার সমান বর্নই পাবেন।
আমরা সংখ্যা গননার ক্ষেত্রে মিলিয়ন, বিলিয়ন ও সর্বোচ্চ ট্রিলিয়ন পর্যন্ত যাই। কিন্তু এরা ছাড়াও আরো আটটি গননা একক আছে। এরা হল কোয়াড্রিলিয়ন, কুইন্টিলিয়ন,সেক্সটিলিয়ন,সেপটিলিয়ন, অক্টিলিয়ন,নলিনিয়ন, ডেসিলিয়ন ও আনডেসিলিয়ন।
শুন্য (0) সংখাটির zero ছাড়াও আরো ১৯ টি নাম প্রচলিত আছে। এদের মধ্যে সবচেয়ে বেশী প্রচলিত নামগুলি হল , nought, naught, nil, zilch ,zip ইত্যাদি। কখনো খেয়াল করে দেখেছেন শুন্যকে (0) রোমান হরফে পরিবর্তন করা হয় না? zero শব্দটি এসেছে আরবি শব্দ "সিফর "থেকে। যেটাকে ইংরেজীতে "ciphar "হিসাবে লেখা হত এবং এর অর্থ হল a secret way of writing " বা "লেখার গোপন পদ্ধতি। গনিতের মহা গুরুত্বপূর্ণ চিহ্ন
সমান চিহ্ন (=) ব্যাবহার কিন্তু গনিতের শুরু থেকে ছিলোই না। এটির ব্যাবহার শুরু হয়েছে মাত্র ৪৫০ বছর আগে থেকে। ষোড়শ শতকে ওয়েলসের একজন গনিতবিদ মি. রবার্ট রেকর্ডে সমান চিহ্ন ব্যবহারের গোড়াপত্তন করেন। তিনি আসলে "equals to " লেখাটি বারবার লিখতে লিখতে বিরক্ত হয়ে পড়েছিলেন।
জনপ্রিয় সার্চ ইঞ্জিন Google এর নামটি এসেছে googol শব্দটির ভুল বানান বা মিসস্পেলিং থেকে। Googol আসলে কোন শব্দ নয়। এটি একটি গানিতিক সংখ্যা। ১ এর পেছনে ১০০ টি শুন্য সংখ্যাটিকে নামকরণ করা হয় googol। নামকরণ করেন গনিতবিদ মিল্টন ১৯৪০ সালে। আধুনিক ক্যালকুলেটরের শুরুর স্টেপ হল অ্যাবাকাস। আবিস্কার করেন চার্লস ব্যাবেজ।
ইংরেজী A বর্নটি 1 থেকে 999 পর্যন্ত একবারও ব্যাবহার হয়না। কেবলমাত্র one thousand লিখতেই A লাগে।
4 একমাত্র ডিজিট যেটা লিখতে এর সমান বর্ন লাগে (four)।

সৌভাগ্যবান সংখ্যা (কনজেকচার)

যদিও ৭-কেই সবাই সৌভাগ্যবান সংখ্যা ধরে নিই, গণিতে সৌভাগ্যবান সংখ্যা নামকরণ করা হয়েছে বরং বিশেষ ধরনের কিছু সংখ্যাকে। যেমন: একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা n-এর জন্য অবশ্যই m>1 আছে যেন pn + m মৌলিক হয়। এখানে pn হলো প্রথম n সংখ্যক মৌলিক সংখ্যার গুণফল।
যেমন n=7-এর জন্য
pn=2×3×5×7×11×13×17=510510।
এখন ২ যোগ করলে এটি হবে জোড় সংখ্যা বা যৌগিক সংখ্যা। ৩ যোগ করলে পাওয়া যাবে ৩ দ্বারা বিভাজ্য কোনো সংখ্যা। একইভাবে ১৮ পর্যন্ত সব সংখ্যাই একই যুক্তিতে বাদ দেওয়া যায়। ১৯ যোগ করলে হয় ৫১০৫২৯, যেটি মৌলিক। তাই ১৯ একটি সৌভাগ্যবান সংখ্যা। এখন পর্যন্ত আবিষ্কৃত সব সৌভাগ্যবান সংখ্যাই মৌলিক সংখ্যা।
যেমন ৩, ৫, ৭, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ৩৭, ৪৭...
এ সংখ্যার আবিষ্কারক রিও ফরচুন বলে গেছেন কোনো সৌভাগ্যবান সংখ্যাই যৌগিক হবে না। এটি আজও একটি কনজেকচার।

গণিতের রাজ্যে মৌলিক সংখ্যা

আমরা জানি যে সংখ্যাগুলো ১ ও ওই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হয় না তাদের বলে মৌলিক সংখ্যা। যেমন ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯...। বাকি সংখ্যারা যৌগিক সংখ্যা নামে পরিচিত। যেমন: ৪, ৬, ৮, ১০, ১৫...। এখানে বলে রাখা ভালো ১ সংখ্যাটি মৌলিকও নয়, আবার যৌগিকও নয়। মৌলিক সংখ্যার যে সমস্যা বা উপপাদ্যগুলো বিখ্যাত তাদের মধ্যে যেটি শুরুতেই আসে সেটি হলো মৌলিক সংখ্যার অসীমতা। অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার শেষ নেই! অনেক আগেই গণিতবিদ ইউক্লিড প্রমাণ করে দিয়ে গেছেন মৌলিক সংখ্যারা সংখ্যায় অসীম। প্রমাণটি খুবই সুন্দর। ধরা যাক, মৌলিক সংখ্যার পরিমাণ সসীম এবং সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যাটি P। N হলো সব মৌলিক সংখ্যার গুণফলের পরবর্তী সংখ্যা। অর্থাৎ N=(1x3x5x9x11 ...xP)+1। এখন মজার ব্যাপার হলো N নিজে কিন্তু ১ ও N ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ যাবে না। অর্থাৎ N নিজেই একটি মৌলিক সংখ্যা। এখান থেকেই বোঝা যাচ্ছে মৌলিক সংখ্যার শেষ নেই। এবার চলুন অসমাধিত সমস্যাগুলো দেখি। প্রথমেই আসে টুইন প্রাইমের কথা। মৌলিক সংখ্যার দিকে তাকান (৫, ৭); (১১, ১৩); (১৭, ১৯); (২৭, ২৯) এ রকম অনেক মৌলিক সংখ্যা ক্রমজোড় পাবেন, যেখানে মৌলিক সংখ্যা দুটির মধ্যে পার্থক্য ২। এদের বলে টুইন প্রাইম। এখন প্রশ্ন হলো, টুইন প্রাইমের সংখ্যাও কি অসীম। এর উত্তর জানা নেই, তবে ধারণা করা হয় যে সংখ্যাটি আসলেই অসীম। এটি আজও রহস্য এবং এই রহস্যের নাম টুইন প্রাইম কনজেকচার। এটিকে একটু সাজিয়ে ১৮৪৯ সালে ডি পলিগনেক লিখেন যে, প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যা k-এর জন্য অসংখ্য মৌলিক জোড়া p ও p র্ আছে, যেখানে pর্ - p=2k। এখানে k=1 হলেই এটি টুইন প্রাইম কনজেকচার। টুইন প্রাইম থেকেই এসেছে বিচ্ছিন্ন বা আইসোলেটেড মৌলিক সংখ্যার ধারণা। যখন p মৌলিক, কিন্তু (p+2) ও (p-2) কোনোটাই মৌলিক নয়, তখন p কে বলা হয় বিচ্ছিন্ন মৌলিক সংখ্যা। যেমন ২৩ একটি বিচ্ছিন্ন মৌলিক, কারণ ২১ ও ২৫ কোনোটাই মৌলিক নয়। টুইন প্রাইমের পরেই আসে প্রাইম ট্রিপলেটের কথা। (p, p+2, p+6) বা (p, p+4, p+6) এ রকম পর পর তিনটি মৌলিক সংখ্যাকে বলে প্রাইম ট্রিপলেট। যেমন: (৫, ৭, ১১); (৬৭, ৭১, ৭৩); (৮৭৭, ৮৮১, ৮৮৩)। প্রাইম কোয়াড্রপলেট হয় যখন পর পর চারটি মৌলিক সংখ্যা (p, p+2, p+6, p+8) অবস্থায় থাকে। যেমন: (১৯১, ১৯৩, ১৯৭, ১৯৯); (২০৮১, ২০৮৩, ২০৮৭, ২০৮৯)। আবার যখন (p, p+2, p+6, p+8) এই চারটি মৌলিক সংখ্যার সঙ্গে (p-4) এবং (p+12) এর যেকোনো একটি মৌলিক হয় তখন তাকে বলে প্রাইম কোয়ান্টোপ্লেট। আর যদি (p-4) ও (p+12) উভয়ই মৌলিক হয় তা হলে তাকে প্রাইম সেক্সটুপ্লেট বলে। এই প্রাইম ট্রিপলেট, প্রাইম কোয়াড্রপ্লেট, প্রাইম কোয়ান্টোপ্লেট ও প্রাইম সেক্সটুপ্লেট—কারও ক্ষেত্রেই এটা নিশ্চিত না যে এদের সংখ্যা সসীম বা অসীম। টুইন প্রাইমের সংখ্যার মতোই এদের সংখ্যাটাও একটা রহস্য। আবার টুইন প্রাইম কনজেকচারের সমাধান মিললেই যে প্রাইম ট্রিপলেট কনজেকচারের সমাধান মিলবে, এমনটা নয়। আবার প্রাইম ট্রিপলেটের সমাধান মিললেই যে প্রাইম কোয়াড্রপ্লেটের সমাধান মিলবে, এমনটা নয়। একই কথা বাকিগুলোর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। এবার চটজলদি একটা উত্তর দিন তো—একটি প্রাইম সেক্সটুপ্লেটে মোট কয়টি প্রাইম টুইন, প্রাইম ট্রিপলেট, প্রাইম কোয়াড্রপ্লেট, প্রাইম কোয়ান্টোপ্লেট আছে? দুই গণিতবিদের দুই প্রাইম মারজেন এবং সোফি জার্মেন দুজনই বিখ্যাত গণিতবিদ। তাঁদের নামে মৌলিক সংখ্যার প্রচলনও রয়েছে। যেমন: 2p-1 আকারের মৌলিক সংখ্যাগুলো মারজেন প্রাইম নামে পরিচিত। এটা ইতিমধ্যেই জানা যে 2p-1 মৌলিক হলে pও মৌলিক হবে। অন্যদিকে, p ও 2p+1 উভয়ই যদি মৌলিক হয় তা হলে p-কে বলা হয় সোফি জার্মেন প্রাইম আর 2p+1 কে বলে সেইফ প্রাইম। যেমন 2×23+1=47, এখানে ২৩ হলো সোফি জার্মেন প্রাইম এবং ৪৭ হলো সেইফ প্রাইম। এই তিন ধরনের মৌলিক সংখ্যার মধ্যে দারুণ একটি সম্পর্ক রয়েছে: যদি সোফি জার্মেন প্রাইম p3(mod 4) হয় তা হলে এর সংশ্লিষ্ট সেইফ প্রাইম 2p+1, মারজেন প্রাইম 2p-1 এর গুণনীয়ক হবে। এই তিন ধরনের মৌলিক সংখ্যাই কেন অসীম সেটা কিন্তু একটা বিরাট রহস্য। গাণিতিক রূপ দিয়ে প্রকাশ করা হয় এ রকম আরেক ধরনের মৌলিক সংখ্যা হলো কালেন প্রাইম। এর গাণিতিক প্রকাশ n.2n+1। ১৯০৫ সালে গণিতবিদ জেমস কালেন এটি আবিষ্কার করেন। এটিও অজানা, কালেন প্রাইম সসীম না অসীম এবং কেন? সৌন্দর্যের মৌলিক ফিবোনাচ্চি ধারাকে বলা হয় প্রকৃতির সৌন্দর্যের ধারা। প্রকৃতির সঙ্গে যেন নানাভাবে মিশে আছে এ ধারা। ধারাটি তাই খুব বিখ্যাত—১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, ৫৫, ৮৯... এ ধারার অন্তর্ভুক্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো তাই ফিবোনাচ্চি মৌলিক নামে পরিচিত। যেমন—২, ৩, ৫, ১৩, ৮৯... ইত্যাদি। অন্যদিকে টামটা বা পেলিনড্রমিক ধাঁচের মৌলিক সংখ্যাকে বলে পেলিনড্রমিক প্রাইম। যেমন: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১০১, ১৩১... এই মৌলিক সংখ্যার অঙ্কগুলো উল্টেপাল্টে লিখলেও একই থাকে। উল্লেখ্য, দুই অঙ্কের প্রথম ও একমাত্র পেলিনড্রমিক প্রাইম হলো ১১। এটি আমাদের জানিয়ে দেয় যে ১১ ছাড়া আর কোনো জোড় অঙ্কের পেলিনড্রমিক প্রাইম নেই। কারণ জোড় অঙ্কের সব পেলিনড্রমিক সংখ্যা ১১ দ্বারা বিভাজ্য। এই যে সৌন্দর্যের মৌলিক সংখ্যা—ফিবোনাচ্চি ও পেলিনড্রমিক প্রাইম—এদের সংখ্যা সসীম, না অসীম এটা এখনো সমাধান হয়নি। এরা নিজ নিজ নামের কনজেকচার নামে পরিচিত। ফার্মার সংখ্যা সংখ্যাতত্ত্বে ফার্মার সংখ্যা খুবই বিখ্যাত। 22n+1 আকারের সংখ্যাগুলোকে বলে ফার্মার সংখ্যা। যেমন: ৩, ৫, ১৭, ২৫৭, ... তো দেখা গেছে n=4 পর্যন্ত ফার্মার সংখ্যা মৌলিক, n>4 এর পরে যৌগিক। কিন্তু এরপর সব n-এর জন্য কি যৌগিক, সেটা একটা রহস্য। এ রকম আরেকটি রহস্য ওয়াইফেরিচ প্রাইম। এটি ফার্মার লিটল থিওরেমের মতোই। ফার্মার লিটল থিওরেম হলো সব বিজোড় মৌলিক p, 2p-1-1 কে নিঃশেষে ভাগ করে। আর ওয়াইফেরিচ প্রাইম হলো p এমন একটি মৌলিক সংখ্যা যেন 2p-1-1, p2 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। আরেক ধরনের মৌলিক সংখ্যা উইলসন মৌলিক। p একটি মৌলিক সংখ্যা যেন (p-1)!+1, p2 দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। এ দুই ধরনের মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা নিয়ে সমস্যা রয়ে গেছে।

সংখ্যার পিরামিড

সংখ্যার পিরামিড এর রাজ্যে আজকে নিয়া আসলাম আপনাদের সবাইকে। । আসলে সংখ্যা মাঝে মাঝে আমাকে ভাবিয়ে তোলে। আজকে আপনারা কিছু ভাবার জিনিশ দেখেন । । । ।
9X9+7=88
98X9+6=888
987X9+5=8888
9876X9+4=88888
98765X9+3=888888 987654X9+2=8888888 9876543X9+1=88888888 98765432X9+0=888888888 1×9+2=11
12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 12345×9+6=111111 123456×9+7=1111111 1234567×9+8=11111111 12345678×9+9=111111111 123456789×9+10=1111111111 1×9+2=11
12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 12345×9+6=111111 123456×9+7=1111111 1234567×9+8=11111111 12345678×9+9=111111111
123456789×9+10=1111111111
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
111111×111111=12345654321
1111111×1111111=1234567654 321
11111111×11111111=123456787654321
কি সুন্দর তাই না। ।

ফিবোনাচ্চি ধারার ম্যাজিক

আপনারা ফিবোনাচ্চি ধারার কথা তো অনেকেই জানেন । এর অনেক মজার ফ্যাক্ট আছে । তাদের মাঝে একটি হলো মাইল থেকে কিলোমিটার এ রূপান্তর । আমরা জানি ১ মাইল = ১.৬১ কিলোমিটার । যদি বলি ৮ মাইল = কত কিলোমিটার ? উত্তর হলো ৮ * ১.৬১ = ১২.৮৮ কিলোমিটার । আর ফিবোনাচ্চি ধারাকে কাজে লাগাতে চাইলে আমরা উত্তর দিবো ৮ এর পরের ফিবোনাচ্চি সংখ্যা টি । এক্ষেত্রে ৮ এর পরের ফিবোনাচ্চি সংখ্যা ১৩ (১২.৮৮ এর কাছাকাছি) । আবার যদি বলি ৫ মাইল = কত কিলোমিটার ? উত্তর ৫ এর পরবর্তী ফিবোনাচ্চি সংখ্যা বা ৮ যাই হোক ৫, ৮ দুটোই আমাদের ফিবোনাচ্চি সংখ্যা ছিল । যদি বলি ১০ মাইল = কত কিলোমিটার ???? ১০ তো আর আমাদের ফিবোনাচ্চি লিস্ট এ নেই । সেক্ষেত্রে ১০ কে আমরা দুই বা ততোধিক ফিবোনাচ্চি সংখ্যার যোগফল আকারে লিখব । যেমন এক্ষেত্রে ১০ = ৮+২ (যত কম সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়, মান ততই নির্ভুল হবে) । তারপর বাকিটা সহজ.......... ৮ এর পরের ফিবোনাচ্চি সংখ্যা ১৩ এবং ২ এর পরের ফিবোনাচ্চি সংখ্যা ৩ । সুতরাং ১০ মাইল = (১৩ + ৩) কিলোমিটার বা ১৬ কিলোমিটার ও হ্যাঁ, ফিবোনাচ্চি ধারা সম্পর্কে যারা কিছুই জানেন না, তাদের জন্য । ফিবনাচ্চি ধারার প্রথম পদ ১, দ্বিতীয় পদ ১ এবং পরবর্তী প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী ২ টি পদের যোগফল............... ধারাটি এরকম 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13............... । সাথে থাকুন আরো মজার পোস্ট পেতে ।