লগারিদমের ভিত্তি e ধরার কারণ

আশা করি সকলে ভালো আছেন ।

এর আগেও লগ সম্পর্কে পোস্ট করা হয়েছে আজকে এ বিষয়ে আরো একটি পোস্ট ।

আমরা বেশির ভাগ ১০ ভিত্তিক লগারিদমের সাথেই অধিত পরিচিত ।

ভিত্তি হিসাবে ১০ কে আমাদের কাছে স্বাভাবিক মনে হয়, কারণ আমরা ১০ ভিত্তিক গণনায় অভ্যস্ত।

তাই আমরা একটু অবাক হই লগের ভিত্তি হিসেবে e (এটি একটি অমূলদ সংখ্যা যার মান ২.৭১৮২৮১৮২৮৪…...) কে দেখে আর আমাদের মনে প্রশ্ন জাগে এই e আসলো কোথা থেকে আর কেনই বা গণিতবিদদের কাছে এই e কে ১০ এর চেয়েও বেশি ভাল মনে হয় ?

লগারিদম এর লেখচিত্র

যদি আমরা ১০ ভিত্তিক লগ অর্থাৎ y=log_১০ (x) এর লেখ আঁকি এবং অত্যন্ত সতর্কতার সাথে (১,০) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল হিসাব করি তবে আমরা পাই ০.৪৩৪।

ঢাল হল, কোন সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণের tangent যেমন, উৎপন্ন কোণ ৩০ ডিগ্রী হলে ঢাল হবে tan৩০ডিগ্রী বা, ১.৭৩২

২ ভিত্তিক লগের জন্য সেই মান হয় ১.৪৪… এবং ৩ ভিত্তিক লগের জন্য হয় ০.৯১…,

অর্থাৎ, ২ ভিত্তিক লগের জন্য ১ এর চেয়ে বেশি আর ৩ ভিত্তিক লগের জন্য ১ এর চেয়ে কম।

আমরা সবাই গণিতের সৌন্দর্যে মোহিত হই, সরলতায় আগ্রহী হই তাই স্বভাবতই আমাদের মনে প্রশ্ন জাগে, এমন কোন ভিত্তি কি নেই যা ২ ও ৩ এর মধ্যবর্তী এবং যার জন্য সেই মান বরাবর ১ হবে ?

উত্তর হ্যাঁ, আছে।

আর সেই মানই হল e ।

e ভিত্তিক লগ অর্থাৎ, y=log_e (x) এর জন্য (১,০) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল হবে ১।

আর তাই ভিত্তি হিসেবে e ব্যাবহার করলে বিষয়টি অনেক সহজ হয় ।

ক্যালকুলাসের অন্তরীকরণ থেকে আমরা জানি log_e(x) এর অন্তরক সহগ হল ১/x কিন্তু ভিত্তি যদি e না হয়ে অন্য কোন সংখ্যা যেমন a হয় তখন log_a(x) এর অন্তরক সহগ হয় (১/x)log_a(e)

অর্থাৎ,১/x এর সাথে ১ ভিন্ন অন্য একটি সংখ্যা গুণ আকারে চলে আসে ।

যেমন log_২(x) এর অন্তরক সহগ (১.৪৪…)/x । আর তখন ঢাল ১ না হয়ে ১.৪৪ হয়, e ভিত্তিক লগের জন্য যা ১, কারণ কোন নির্দিষ্ট বিন্দুতে অন্তরক সহগের মানই ওই বিন্দুতে অংকিত স্পর্শকের ঢাল। এ কারনে লগের ভিত্তি হিসেবে e এর ব্যাবহার এতো স্বাভাবিক।

আমরা খুব সহজে e এর মান নিচের ধারা থেকে নির্ণয় করতে পারিঃ-

e = ১ + ১/১! + ১/২! + ১/৩! + ১/৪! + …

যেখানে, ৪! মানে ১.২.৩.৪=২৪